Luento, jonka otsikkoa kukaan ei ymmärtänyt

Istahdan Agoran kakkossalin eturiviin. On tiistai-iltapäivä ja POM-matikan luento on juuri alkamassa. Viisarin värähtäessä varttia yli luennoitsija aloittaa rauhallisesti käymään diojaan yksitellen läpi. Ihmiset kuuntelevat – enemmän ja vähemmän tunnollisesti.

Kun luentoa on kulunut tunti, päätän kysyä inhottavan kysymyksen. Käännyn ympäri ja pyydän ystävällisesti arviolta lähes sadalta kollegalta seuraavaa: kaikki ne, jotka ymmärsivät luennon otsikon, nostakaa räpylä pystyyn. Kenenkään käsi ei nouse. Mitä ihmettä? Eikö kukaan muukaan siis ymmärrä, mitä ”Aritmetiikasta algebraan” oikeastaan tarkoittaa? Olemme toisin sanoen kuunnelleet luentoa jo tunnin samalla kun kukaan luentosalissa istuva ei tiedä, mikä luennon aihe oikeastaan on. Kukaan.

Miten on mahdollista, että istumme ja kuuntelemme luennoitsijaa tunnollisesti, vaikka kukaan meistä ei ymmärrä edes luennon aihetta? Miten on mahdollista, että meitä oppimisen tulevia eksperttejä ei häiritse se, että emme opiskelijoina ymmärrä, mitä itse asiassa olemme tällä hetkellä opiskelemassa? Vai olemmeko täällä ylipäätään opiskelemassa? Johtuuko tämä siitä, että luennon merkitys on, kuten Saara Kallioinen (2011) OKL:n opiskelukulttuuria koskevassa gradussaan väittää, meille opettajaopiskelijoille lähinnä sosiaalinen, ei niinkään oppimistilanne? Olemmeko luennolla vain lusimassa kavereiden kanssa?

Takaisin luennolle. Luennoitsija Kauko Hihnala pyrkii kysymykseni jälkeen selventämään näiden matemaattisen ydinkäsitteiden eroa, mutta tekee sen jokseenkin epäselvästi artikuloiden. Olen itse matemaattisesti lahjakas ja kirjoittanut omissa ylioppilaskirjoituksissani pitkästä matikasta eximian, mutta en silti koe edelleenkään riittävästi ymmärtäväni aritmetiikan ja algebran eroa. Hihnala vakuuttaakin meille, että ei se nyt niin vakavaa ole, vaikka näitä käsitteitä ei kunnolla hallitsisikaan.

Anteeksi, mutta kuulinkohan juuri äsken väärin? Minunko ei tulevana matematiikanopettajana tarvitse ymmärtää yhtä keskeistä perusopetuksen opetussuunnitelmassa mainittua matematiikan ydinsisältökäsitettä, kuten algebra? Algebra on ensimmäisestä luokasta asti mukana keskeisten sisältöjen yläkäsitteenä, mutta minun ei tästä huolimatta tarvitse tietää mitä tämä sana tarkoittaa? Samalla logiikalla ei kai sitten juurikaan haittaisi, vaikka en ymmärtäisi esimerkiksi geometriaa käsitteenä. Voisinpa kai opettaa pätevästi maantietoakin, vaikka en nyt ihan tarkalleen tiedä mitä ”maantieto” tarkoittaa – mitä sitä turhaan hifistelemään!

Eikö pitkän kokemuksen omaavalta matematiikan didaktikolta voisi odottaa, että hän osaisi aavistaa luennoillaan kohderyhmänsä käsitteellisen ymmärryksen tason? Luennon otsikkoon oli valittu kaksi sanaa (aritmetiikka, algebra), joista kumpaakaan kukaan luennolla ollut ei siis kunnolla ymmärtänyt. Tämä oli itsellenikin yllätys: olisin uskonut, että joku itseäni viisaampi kanssaopiskelija olisi ehkä osannut nämä sanat avata ja määritellä. Mutta eipä vaan osannut.

Miksi sitten ylipäätään käyttää termejä, jotka eivät merkitse meille mitään, jos niiden hallitsemisella ei ole luennoitsijan omien sanojensakaan mukaan edes niin väliä? Vai oliko Hihnala tässä kohtaa väärässä? Itse asiassa sanoilla ”aritmetiikka” ja ”algebra” oli luennon ymmärtämisen kannalta hyvinkin paljon väliä: vasta ymmärrettyäni nämä ydinkäsitteet riittävän hyvin pystyin ymmärtämään sen kokonaiskontekstin, johon kaikki luennolla käsitelty tieto pohjimmiltaan liittyi. Ilman tätä kaikki olisi näyttäytynyt loppuun asti vain irrallisina matemaattisen tiedon sirpaleina. Kurssikirjallisuus näyttäisi puoltavan tätä näkökulmaan: tenttiin lukemistona olevissa artikkeleissa puolustetaan esimerkiksi 1) ymmärtämiseen pyrkivää matematiikan opetusta ja 2) tavoitetta saada yhteinen ymmärrys tietystä käsitteestä (esim. algebra) kaikille tämän käsitteen käyttäjille. Jos opetus toteutetaan koulumatematiikassa pikemminkin tuotosten kuin prosessin näkökulmasta, kasvatettavien on mahdotonta ymmärtää niitä asiayhteyksiä, joiden ymmärtämistä varten kyseinen symboliikka on ylipäätään kehitelty synnyttäen oppimisvaikeuksia ja mielekkyyskatoa. Niinpä.

Takaisin matikan opetukseemme. Jatkoimme vielä seuraavalla demolla algebran ja aritmetiikan käsitteellistä avaamista - tästä pisteet Hihnalalle. Meille näytettiin OPS:sta, mitä kaikkea algebraan alakoulussa kuuluu. Tämä jätti kuitenkin edelleen varsin hämäräksi sen, mitä tämä arabiasta pohjautuva käsite lopulta määritelmällisesti tarkoittaa. Kysyinkin uudestaan saman inhottavan kysymyksen, minkä olin luennolla esittänyt, nyt omalta demoryhmältämme. Muutama käsi nousi, enemmistö ei edelleenkään ymmärtänyt näitä käsitteitä. Noh, pientä edistystä kuitenkin! Itse oivalsin sitkeän kyselemiseni johdosta, että aritmetiikka on luonteeltaan hyvin konkreettista lukujen ja laskutoimitusten kanssa toimimista siinä missä algebrassa on kyse jo abstraktimmasta ja käsitteellisemmästä matematiikasta, jossa tulevat mukaan esimerkiksi yhtälöt ja mahdollisuus ratkaista yhden laskun sijaan laskujoukkoja. Aritmetiikasta algebraan tarkoitti siis siirtymistä hyvin konkreettisista luvuista ja laskuista hiljalleen abstraktimpaan matematiikkaan. 

Olin nyt viimein ymmärtänyt sen matemaattisen kehityksen kaaren, johon matemaattisessa opetuksessa tässä kohtaa pyritään! Enpä olisi tätä pystynyt ylipäätään ymmärtämään ilman käsitteellistä ymmärrystä sanoista ”aritmetiikka” ja ”algebra”. Kuulostaa jälkikäteen aika olennaiselta, vai mitä olette mieltä? Jos meitä opettajaopiskelijoita kehotetaan opettamaan tulevia kasvatettaviamme matemaattiseen ymmärrykseen pelkän mekaanisen laskutaidon sijasta, eikö silloin myös meidän opetuksemme lähtökohdaksi tulisi ottaa tämä sama periaate?

Mikko Valtonen. Kirjoittaja on 26-vuotias luokanopettajaopiskelija Jyväskylän yliopistossa.