Istahdan Agoran kakkossalin eturiviin.
On tiistai-iltapäivä ja POM-matikan luento on juuri alkamassa. Viisarin värähtäessä
varttia yli luennoitsija aloittaa rauhallisesti käymään diojaan
yksitellen läpi. Ihmiset kuuntelevat – enemmän ja vähemmän
tunnollisesti.
Kun luentoa on kulunut tunti, päätän
kysyä inhottavan kysymyksen. Käännyn ympäri ja pyydän
ystävällisesti arviolta lähes sadalta kollegalta seuraavaa: kaikki
ne, jotka ymmärsivät luennon otsikon, nostakaa räpylä pystyyn.
Kenenkään käsi ei nouse. Mitä ihmettä? Eikö kukaan muukaan siis ymmärrä,
mitä ”Aritmetiikasta algebraan” oikeastaan tarkoittaa? Olemme
toisin sanoen kuunnelleet luentoa jo tunnin samalla kun kukaan luentosalissa istuva
ei tiedä, mikä luennon aihe oikeastaan on. Kukaan.
Miten on mahdollista, että istumme ja
kuuntelemme luennoitsijaa tunnollisesti, vaikka kukaan meistä ei
ymmärrä edes luennon aihetta? Miten on mahdollista, että meitä
oppimisen tulevia eksperttejä ei häiritse se, että emme
opiskelijoina ymmärrä, mitä itse asiassa olemme tällä hetkellä
opiskelemassa? Vai olemmeko täällä ylipäätään opiskelemassa?
Johtuuko tämä siitä, että luennon merkitys on, kuten Saara
Kallioinen (2011) OKL:n opiskelukulttuuria koskevassa gradussaan väittää,
meille opettajaopiskelijoille lähinnä sosiaalinen, ei niinkään oppimistilanne? Olemmeko luennolla vain
lusimassa kavereiden kanssa?
Takaisin luennolle. Luennoitsija Kauko
Hihnala pyrkii kysymykseni jälkeen selventämään näiden
matemaattisen ydinkäsitteiden eroa, mutta tekee sen jokseenkin
epäselvästi artikuloiden. Olen itse matemaattisesti lahjakas ja
kirjoittanut omissa ylioppilaskirjoituksissani pitkästä matikasta
eximian, mutta en silti koe edelleenkään riittävästi ymmärtäväni
aritmetiikan ja algebran eroa. Hihnala vakuuttaakin meille, että ei
se nyt niin vakavaa ole, vaikka näitä käsitteitä ei kunnolla
hallitsisikaan.
Anteeksi, mutta kuulinkohan
juuri äsken väärin? Minunko ei tulevana matematiikanopettajana
tarvitse ymmärtää yhtä keskeistä perusopetuksen
opetussuunnitelmassa mainittua matematiikan ydinsisältökäsitettä,
kuten algebra? Algebra on ensimmäisestä luokasta asti mukana
keskeisten sisältöjen yläkäsitteenä, mutta minun ei tästä
huolimatta tarvitse tietää mitä tämä sana tarkoittaa? Samalla
logiikalla ei kai sitten juurikaan haittaisi, vaikka en ymmärtäisi
esimerkiksi geometriaa käsitteenä.
Voisinpa kai opettaa pätevästi maantietoakin, vaikka en nyt ihan
tarkalleen tiedä mitä ”maantieto” tarkoittaa – mitä sitä
turhaan hifistelemään!
Eikö pitkän kokemuksen omaavalta
matematiikan didaktikolta voisi odottaa, että hän osaisi aavistaa
luennoillaan kohderyhmänsä käsitteellisen ymmärryksen tason?
Luennon otsikkoon oli valittu kaksi sanaa (aritmetiikka, algebra),
joista kumpaakaan kukaan luennolla ollut ei siis kunnolla ymmärtänyt.
Tämä oli itsellenikin yllätys: olisin uskonut, että joku
itseäni viisaampi kanssaopiskelija olisi ehkä osannut nämä sanat avata
ja määritellä. Mutta eipä vaan osannut.
Miksi sitten ylipäätään käyttää
termejä, jotka eivät merkitse meille mitään, jos niiden
hallitsemisella ei ole luennoitsijan omien sanojensakaan mukaan edes
niin väliä? Vai oliko Hihnala tässä kohtaa väärässä? Itse
asiassa sanoilla ”aritmetiikka” ja ”algebra” oli luennon
ymmärtämisen kannalta hyvinkin paljon väliä: vasta ymmärrettyäni
nämä ydinkäsitteet riittävän hyvin pystyin ymmärtämään sen
kokonaiskontekstin, johon kaikki luennolla käsitelty tieto pohjimmiltaan
liittyi. Ilman tätä kaikki olisi näyttäytynyt loppuun asti vain
irrallisina matemaattisen tiedon sirpaleina. Kurssikirjallisuus
näyttäisi puoltavan tätä näkökulmaan: tenttiin lukemistona olevissa
artikkeleissa puolustetaan esimerkiksi 1) ymmärtämiseen pyrkivää
matematiikan opetusta ja 2) tavoitetta saada
yhteinen ymmärrys tietystä käsitteestä (esim. algebra) kaikille
tämän käsitteen käyttäjille. Jos opetus toteutetaan
koulumatematiikassa pikemminkin tuotosten kuin prosessin
näkökulmasta, kasvatettavien on mahdotonta ymmärtää
niitä asiayhteyksiä, joiden ymmärtämistä varten kyseinen
symboliikka on ylipäätään kehitelty synnyttäen oppimisvaikeuksia
ja mielekkyyskatoa. Niinpä.
Takaisin matikan opetukseemme. Jatkoimme vielä
seuraavalla demolla algebran ja aritmetiikan käsitteellistä
avaamista - tästä pisteet Hihnalalle. Meille näytettiin OPS:sta, mitä kaikkea algebraan
alakoulussa kuuluu. Tämä jätti kuitenkin edelleen varsin hämäräksi
sen, mitä tämä arabiasta pohjautuva käsite lopulta määritelmällisesti
tarkoittaa. Kysyinkin uudestaan saman inhottavan kysymyksen, minkä
olin luennolla esittänyt, nyt omalta demoryhmältämme. Muutama käsi
nousi, enemmistö ei edelleenkään ymmärtänyt näitä käsitteitä.
Noh, pientä edistystä kuitenkin! Itse oivalsin sitkeän
kyselemiseni johdosta, että aritmetiikka on luonteeltaan hyvin
konkreettista lukujen ja laskutoimitusten kanssa toimimista siinä
missä algebrassa on kyse jo abstraktimmasta ja käsitteellisemmästä
matematiikasta, jossa tulevat mukaan esimerkiksi yhtälöt ja
mahdollisuus ratkaista yhden laskun sijaan laskujoukkoja.
Aritmetiikasta algebraan tarkoitti siis siirtymistä hyvin
konkreettisista luvuista ja laskuista hiljalleen abstraktimpaan
matematiikkaan.
Olin nyt viimein ymmärtänyt sen matemaattisen kehityksen
kaaren, johon matemaattisessa opetuksessa tässä kohtaa pyritään!
Enpä olisi tätä pystynyt ylipäätään ymmärtämään ilman
käsitteellistä ymmärrystä sanoista ”aritmetiikka” ja
”algebra”. Kuulostaa jälkikäteen aika olennaiselta, vai mitä
olette mieltä? Jos meitä opettajaopiskelijoita kehotetaan opettamaan tulevia kasvatettaviamme matemaattiseen ymmärrykseen pelkän mekaanisen laskutaidon sijasta, eikö silloin myös meidän opetuksemme lähtökohdaksi tulisi ottaa tämä sama periaate?
Mikko Valtonen. Kirjoittaja on 26-vuotias luokanopettajaopiskelija Jyväskylän yliopistossa.
